Доказательство Гёделя

Можно ли задать правила доказательства так, чтобы всякая арифметическая истина получила доказательство по этим правилам? Философ Эрнест Нагель и математик Джеймс Рой Ньюман объясняют, почему результат Гёделя ограничивает такой замысел. Речь идёт о формальных системах определённого устройства: достаточно выразительных для арифметики, с эффективно задаваемыми аксиомами и при условии непротиворечивости.

Историческое значение доказательства связано с попытками установить основания математики средствами формализации. Но вывод о неполноте имеет точные условия применения. Превращать его в общее рассуждение о бессилии разума или невозможности истины — значит терять предмет. Достоинство объяснительного изложения здесь в возможности проследить связь между устройством системы и утверждением, которое она не способна решить собственными средствами.

Специальная математическая подготовка не предполагается, однако читать эти 176 страниц стоит с карандашом. Не двигайтесь дальше, пока не различены истинность утверждения и его доказуемость в выбранной системе. Русское издание переведено с английского; перед читателем объяснение идей доказательства, требующее последовательного чтения.